Makanan Otak ... {Peluang Membentuk Segitiga}

Diketahui terdapat seutas tali yang panjangnya 1 meter.. Tali tersebut dipotong menjadi 3 bagian secara RANDOM.

Pertanyaannya: Berapakah peluang ketiga potongan tali tersebut membentuk segitiga?

=========================================================================

JAWABAN

Gunakan perbandingan luas kemungkinan terbentuknya segitiga dengan luas kemungkinan untuk memotong tali menjadi 3 bagian....

Jika kita menganggap bahwa:
potongan tali pertama = x
potongan tali kedua = y
potongan tali ketiga = 1-x-y ..

Maka, syarat memotong tali menjadi 3 bagian adalah:
(i) x  0. (karena non negatif)
(ii) y 0. karena non negatif).
(iii) 1-x-y  0 (karena non negatif) atau ditulis y  1-x

Kita gambarkan daerah definisi di atas.

Luas semestanya adalah 1/2.

Kemudian, kita baru memperhitungkan kemungkinan terbentuknya segitiga.

Ingat bahwa syarat segitiga adalah:
(i) pot pertama  pot kedua + pot ketiga.
___ x  y + (1-x-y).
___ x  1/2... (a)
(ii) pot kedua  pot pertama + pot ketiga.
___ y  x + (1-x-y)
___ y  1/2... (b)
(iii) pot ketiga  pot pertama + pot ketiga.
___ (1-x-y)  x + y
___ y  - x + 1/2... (c)

Kita gambarkan daerah definisi dari pers (a), (b), dan (c).

Luas daerah definisi ini adalah 1/8...

Dengan demikian, peluang terbentuknya segitiga dari 3 potongan tali
= Luas terbentuknya segitiga / luas semesta
= (1/8) / (1/2) = 1/4.

Read More

Menghitung Volume Donat

Suatu hari, dalam perjalanan pulang, Grace merasa lapar. Untung saja di tengah perjalanan ada toko donat, maka Grace pun berniat membeli donat.

Ada dua donat, donat A dan donat B, yang keduanya memiliki ukuran yang berbeda. Donat A memiliki rotinya lebih tipis dibanding donat B, namun memiliki diameter donat yang lebih besar dibanding donat B. Lebih jelasnya, lihat di gambar.

Grace ingin donat yang volumenya lebih besar. Bisakah kalian membantu Grace menentukan donat tersebut? Jelaskan alasanmu!

=======================================================================

Penyelesaian

Pappus' Centroid Theorem I mengatakan bahwa:

Volume V yang dibentuk dari perputaran suatu figur F terhadap suatu sumbu eksternal

sama dengan

perkalian area (A) dari figur F dengan
panjang keliling lingkaran (jarak yang ditempuh oleh pusat massa selama diputar)

Digambarkan sebagai berikut. (M adalah titik pusat massa.)

Volume yang terbentuk dari perputaran = Luas A x 2. .d

Dengan demikian, kita dapat menyelesaikan kasus donat di atas dengan sangat mudah.






Jadi, jelaslah bahwa donat kedua memiliki volume lebih banyak dibanding donat 1.

Read More

Mau Beli Air 2 Liter aja

Mami Lilis adalah tukang jual air. Diketahui bahwa dia punya bak air yang terisi dengan air yang sangat banyak (hingga lebih dari 100 liter). Suatu hari, datang seorang pembeli yang ingin membeli air sebanyak 2 liter. Namun sayangnya, Mami Lilis hanya mempunyai 2 buah gayung yang volumenya masing-masing 4 liter dan 7 liter. Bagaimana cara Mami Lilis mengambil air sebanyak 2 liter itu tanpa menggunakan alat bantu yang lain?

Read More

Makanan Otak lagi donk

soal ini masih layak donkx... ^_^

Tentukan bilangan bulat positif m dan n yang memenuhi persamaan berikut.

Post sudah diupdate dengan jawaban.. ^^

=========================================================================== Soalnya, Bikin latex itu sussah (merepotkan sih, tapi ngak susah) banget. Jadi, agak males... ~~a.. Maap2.. Solusinya mudah..

Kita tulis ulang soalnya:

Dengan mengalikan (mn) di kedua ruas, bentuk itu dapat diubah menjadi:

Kemudian, ikuti langkah-langkah berikut:

... (*)

CEK KONDISI POSITIF
Nah, di soal diberitahukan bahwa n adalah bilangan bulat positif, maka:

(dari hasil itu, ternyata secara otomatis syarat untuk m bilangan positif juga terpenuhi.. ^^)

CEK KONDISI BILANGAN BULAT
Sekarang, perhatikan bahwa: m dan n adalah bilangan bulat.. (Lihat persamaan (*)). Agar n bilangan bulat, maka haruslah bilangan bulat. Karena itu, (m-2008) haruslah merupakan bilangan bulat yang merupakan faktor dari .

Artinya, dari kedua kondisi itu, m haruslah bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan (m-2008) merupakan faktor dari ( yang dapat dijabarkan menjadi ).

Maka, kemungkinan untuk (m-2008) adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 251, 502, 1004, 2008, 4016, 8032, 16064, 63001, 126002, 252004, 504008, 1008016, 2016032, 4032064.

Maka, kemungkinan untuk m, cukup tambahkan 2008 dari nilai-nilai di atas.
Jadi, kemungkinan untuk m adalah 2009, 2010, 2012, 2016, 2024, 2040, 2072, 2259, 2510, 3012, 4016, 6024, 10040, 18072, 65009, 128010, 254012, 506016, 1010024, 2018040, 4024072.

Jadi, sekarang kita sudah emperoleh semua nilai m. Tinggal dimasukkan di , maka nilai n akan didapat.

Berikut akan ditunjukkan semua pasangan m dan n.

m	n
2009	4034072
2010	2018040
2012	1010024
2016	506016
2024	254012
2040	128010
2072	65009
2259	18072
2510	10040
3012	6024
4016	4016
6024	3012
10040	2510
18072	2259
65009	2072
128010	2040
254012	2024
506016	2016
1010024	2012
2018040	2010
4034072	2009

Jadi,kalau ditanya, berapa nilai terkecil (m+n), jawabnya adalah m=4016, dan n=4016.. ^^

===========================================================================
Sekian pembahasan Makanan Otak Kali ini.. Maap kalo angkanya agak jelek dan buanyyyakk... ~~a..

Read More

Makanan Otak .. Faktorial

1. ____	habis dibagi oleh . Tentukan integer  yang terbesar.
2. ____	habis dibagi oleh . Tentukan nilai  yang terkecil
3. ____	Tentukan berapa banyak akhiran nol dari hasil perhitungan di bawah

=======================================================================

JAWABAN

Ketiga soal di atas sesungguhnya memilik tipe yang sama.

Perhatikan kasus yang lebih sederhana berikut.

 habis dibagi . Tentukan  yang terbesar.

Supaya jelasnya, kita uraikan .

Dibagi dengan  hasilnya

Dibagi dengan  hasilnya

Dibagi dengan  hasilnya

Dibagi dengan  hasilnya

Maka, 

Penulisan di atas dapat dipersingkat menjadi sbb:

Bentuk penulisannya juga bisa sbb:

Note: jika pembagiannya bersisa, maka sisa pembagian tersebut kita abaikan.

1.____	Jadi,
2.____	Kita mencoba menerka. Seandainya , maka Masih kurang 4 untuk mencapai 1000. Jadi, nilai  harus lebih besar dari 2000. Seandainya nilai , maka Perhatikan bahwa  harus merupakan kelipatan 3. Artinya mungkin 2004, atau 2007, atau 2010, etc. Seandainya , maka Seandainya , maka Jadi,
3.____	Banyaknya akhiran nol dipengaruhi oleh elemen (2 x 5). Namun karena faktor 2 jauh lebih banyak daripada faktor 5, maka kita cukup gunakan 5 sebegai pembatas. Jadi, kita cukup menentukan nilai  terbesar dari pembagian . Maka, banyaknya akhiran nol pada  = total akhiran nol pada pembilang - total akhiran nol pada penyebut = (273 + 174 + 74) - ( 26 + 16 + 7) = 472

Read More